科普-中华学生百科全书-第470部分

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公元前　6　世纪，古希腊有个毕达哥拉斯学派——一个宗教、科学和哲学
性质的帮会，在数学研究上有很大成绩，以勾股定理、无理数的研究最为著
名。毕达哥拉斯学派有一个信条：宇宙间的一切数都能归结为整数或整数之
比。毕氏的一个门徒希伯索斯，在研究等腰直角三角形斜边与一直角边之比，
或正方形对角线与其一边之比时，发现其比不能用整数之比表达时，便很吃
惊。他们证明了这个数不是整数，绞尽脑汁也找不到这个分数，所以希伯索
斯等人阐述了这个发现。因其理论违背毕氏学派的信条而引起同伴们的狂
怒，竟被抛入大海。另有传说，毕氏学派规定，每当有新的发现发明，都要
保守秘密，不得外传，否则要受到严厉制裁。他们发现无理数后，视无理数
为一种不能言说的记号。有一门徒泄露了这一发现，便遭到覆舟毙命的惩罚。
然而真理是封不住的，不管毕氏门徒如何反对，无理数终于闯入了数的圣地，
使数的概念又扩展了一步。无理数是稠密的，任何两个有理数之间，不管它
们多么接近，都存在着无限多个无理数。

真实的虚数

“虚数”这个名词，使人觉得挺玄乎，好像有点“虚”，实际上它的内
容却非常“实”。
虚数是在解方程时产生的。求解方程时，常常需要将数开方，如果被开
方数是正数，就可以算出要求的根；但如果被开方数是负数，那怎么办呢？
比如，方程x2　＋1=　0，x2　=　…1，x=　±　1。那么　1有没有意义呢？很
早以前，大多数人都认为负数是没有平方根的。到了　16　世纪，意大利数学家
～
卡当在其著作《大法》（1545年）中，把　15记为R·　m·15，这是最早
的虚数记号。但他认为这仅仅是个形式表示而已。1637　年法国数学家笛卡
尔，在其《几何学》中第一次给出“虚数”的名称，并和“实数”相对应。
1777年，欧拉在一篇论文中首次用“i”来表示　1，但以后很少有人注意它。
直到　19　世纪初，高斯系统地使用了这个符号，并主张用数偶（a、b）来表示
a＋bi，称为复数，虚数才逐步得以通行。
由于虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活
中似乎没有用复数来表达的量，因此在很长一段时间里，人们对它产生过种
种怀疑和误解。笛卡尔称“虚数”的本意就是指它是虚假的；莱布尼兹则认
为：“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所，它几乎是既存在又不存在的两栖物。”
欧拉尽管在许多地方用了虚数，但又说一切形如
1、　　2的数学式都是不可能有的，纯属虚幻的。
继欧拉之后，挪威测量学家维塞尔提出把复数（a＋bi）用平面上的点来
表示。后来高斯又提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地，也为复
数的应用开辟了道路。现在，复数一般用来表示向量（有方向的量），这在
水利学、地图学、航空学中的应用十分广泛，虚数越来越显示出其丰富的内
容。真是：虚数不虚！
虚数的发展说明了：许多数学概念的产生并不直接来自实践，而是来自
思维，但只有在实际生活中有了用处时，这些概念才能被接受而获得发展。

π的“马拉松计算”

圆的周长同直径的比值，一般用π来表示，人们称之为圆周率。在数学
史上，许多数学家都力图找出它的精确值。约从公元前　2　世纪，一直到今天，
人们发现它仍然是一个无限不循环的小数。因此，人们称它为科学史上的“马
拉松”。
关于π的值，最早见于中国古书《周髀算经》的“周三经一”的记载。
东汉张衡取π=3。1466（又取π=　10）。第一个用正确方法计算π值的，要算
我国魏晋之际的杰出数学家刘徽，他创立了割圆术，用圆内接正多边形的边
数无限增加时，其面积接近于圆面积的方法，一直算到正　192　边形，算得π
3927
=3。14124，又继续求得圆内接正3072边形时，得出更精确的π=　　　　　　=3。1416，
1250
割圆术为圆周率的研究，奠定了坚实可靠的理论基础，在数学史上占有十分
重要的地位。
随后，我国古代数学家祖冲之又发展了刘徽的方法，一直算到圆内接正
22
24576边形，求出3。1415926＜π＜3。1215927，又求得π　=　355（密率），
π　=
113　　　　　　　　　　　　　　7

（约率），使中国对π值的计算领先了1000年。为此，有人建议把π　=　355称为
113
“祖率”，以纪念祖冲之的杰出贡献。
17　世纪以前，各国对圆周率的研究工作仍限于利用圆内接和外切正多边
形来进行。1427　年伊朗数学家阿尔·卡西把π值精确计算到小数　16　位，打
破祖冲之千年的记录。1596　年荷兰数学家鲁多夫计算到　35　位小数，当他去
世以后，人们把他算出的π数值刻在他的墓碑上，永远纪念着他的贡献（而
这块墓碑也标志着研究π的一个历史阶段的结束，欲求π的更精确的值，需
另辟途径）。
17　世纪以后，随着微积分的出现，人们便利用级数来求π值，1873　年算
至　707　位小数，1948　年算至　808　位，创分析方法计算圆周率的最高纪录。
1973　年，法国数学家纪劳德和波叶，采用　7600CDC　型电子计算机，将π
值算到　100　万位，此后不久，美国的科诺思，又将π值推进到　150　万位。1990
年美国数学家采用新的计算方法，算得π值到　4．8　亿位。
早在　1761　年，德国数学家兰伯特已证明了π是一个无理数。
将π计算到这种程度，没有太多的实用价值，但对其计算方法的研究，
却有一定的理论意义，对其他方面的数学研究有很大的启发和推动作用。

运算符号的由来

表示计算方法的符号叫做运算符号。如四则计算中的＋、…、×、÷等。
加号“＋”是加法符号，表示相加。
减号“…”是减法符号，表示相减。
“＋”与“…”这两个符号是德国数学家威特曼在　1489　年他的著作《简算
与速算》一书中首先使用的。在　1514　年被荷兰数学家赫克作为代数运算符
号，后又经法国数学家韦达的宣传和提倡，开始普及，直到　1630　年，才获得
大家的公认。
乘号“×”是乘法符号，表示相乘。1631　年，英国数学家奥特轩特提出
用符号“×”表示相乘。乘法是表示增加的另一种方法，所以把“＋”号斜过
来。另一个乘法符号“·”是德国数学家莱布尼兹首先使用的。
除号“÷”是除法符号，表示相除。用这个符号表示除法首先出现在瑞
士学者雷恩于　1656　年出版的一本代数书中。几年以后，该书被译成英文，才
逐渐被人们认识和接受。

关系符号

表示数与数、式与式或式与数之间的某种关系的特定符号，叫做关系符
号。有等号，大于号，小于号，约等于号，不等号等等。
等号：表示两个数或两个式或数与式相等的符号，记作“＝”，读作“等
于”。例如：3＋2＝5，读作三加二等于五。第一个使用符号“＝”表示相等的
是英国数学家雷科德。
大于号：表示一个数（或式）比另一个数（或式）大的符号，记作“＞”，
读作“大于”。例如：6＞5，读作六大于五。
小于号：表示一个数（或式）比另一个数（或式）小的符号，记作“＜”，
读作“小于”。例如：5＜6，读作五小于六。大于号和小于号是英国数学家
哈里奥特于　17　世纪首先使用的。
约等于号：表明两个数（或式）大约相等的符号，记作“≈”，读作“约
等于”。例如：π≈3．14，读作π约等于三点一四。
不等号：表示两个数（或式）不相等的符号，记作“≠”，读作“不等
于”。例如　4＋3≠9，读作四加三不等于九。

“　　　　　　”的来源

最早用“　”表示根号的，是法国数学家笛卡尔。17世纪，笛卡尔在
他的著作《几何学》一书中首先用了这种数学符号。
“　”这个符号表示两层意思：左边部分“√”是由拉丁字母“r”
演变而来的，它表示“root”即“方根”的意思；右上部的一条横线，
正如我们已经习惯的表示括号的意思，也就是对它所括的数求方根。
正因为“　”既表示方根，又表示括号，所以凡在运算中遇到“　”，

必须先做括号内的算式，然后再做其他运算。也就是说先要做根号运算。

奇妙的数字“9”

将循环小数化成分数，是解决有关循环小数的基本方法。怎样才能将循
环小数化成分数呢？这要请我们的老朋友——9　来帮助解决问题。我们知
道，
a
在数列计算中，有一个无穷等比数列的求和公式：S　=　　　　　　　　　　。其中a是这个数
1…q
列的第一项，q　是公比。下面要用这个公式来研究化循环小数为分数的方法。
先观察下面两个循环小数：0．6666……＝0．6，0．242424……＝0．24。它们都是
从小数点后的第一位开始循环的，叫做纯循环小数。为了便于计算，先将它
们写成分数的和的形式：
0．666……＝0．6＋0．06＋0．006……

=　　　10　100　1000　10000＋Λ
6　　　＋　　　　　6　　＋　　　　　　6　　＋　　　　6　　　　　　　Λ

0．242424……＝0．24＋0．0024＋0．000024……

=　　　100　10000　1000000＋Λ
24　　　＋　　　　24　　　　　＋　　　　24　　　　　　　　Λ

1
这就变成了无穷递缩等比数列的形式。0。6666……的公比是10　，而
1
0。242424……的公比是100。根据求和公式得：
6

0。66Λ　Λ　　　　10　　　　　　　　6　　　=　　6
1　　=
1　　　　　　　　　101　9
10
24

0。242424Λ　Λ　　　　　100　　　　　　　　24　　　　24
1　　　　=　　　　　　　=
1　　　　　　　　　　1001　99
100

由此可以看出，要把纯循环小数化为分数，只要把一个循环节的数字化为分
子，让分母由　9　组成，循环节有几位数字，分母是几个　9　就行了。例如：
4
0。4444Λ　Λ　=　0。4　=
9
56
0。5656Λ　Λ　=　0。56　=
99

031233123Λ　Λ　=　0。3123=　　　　　　　3123　=　347
9999　1111
下面再来看看以下两个循环小数：

0。2888……　=　0。28　；　0。3545454Λ　Λ　=　0。354它们都不是从小数点后的第一

从小数点后的第一位开始循环，这叫混循环小数。用分数的和可表示为：

2　　　　　　8　　　　　8　　　　　8
0。28888　=Λ　Λ　　10　100　1000　10000＋Λ
＋　　　　　＋　　　　　＋　　　　　　　　　Λ

0。35454Λ　Λ　=　　3　54　＋　　　　　　＋　　　54
10　1000　100000
1　　　　　1
这种和的形式，从第二项起，构成了一个分别以10、100为公比的无穷递
缩等比数列。由求和公式得：
8
2　　　　　　100　　　　　2　　　　　8
0。2888Λ　Λ　=　　　　　＋　　　　　　　　=　　　＋
10　　　　　　　　1
1　　　　　　　　10　10010
100
2　　　　　8　　　　2×9＋8
=　　　　　＋　　　　=
10　90　　　　　　　　90

=　26　13
=
90　45
54
3　　　　　　　　　　　　　3　　　　　　54
0。35454Λ　Λ　=　　　　　＋　　　100　　　=　　　＋
10　　　　　　　1
1　　　　　　　10　100010
100
3　　　　　　　54　　　3×99＋　54
=　　　　　=　＋　　　　　=
10　　　　　990　　　　　　990

=　　351　　=　　　39
990　110

由此可以看出：把混循小数化为分数，先去掉小数点，再用第二个循环
节以前的数字减去不循环部分的数字，将得到的差作为分子；分母由　9　和　0
组成，9　的个数等于一个循环节的位数，9　的后面写　0，0　的个数等于循环部
分的位数。例如：
27　　2　25　　　　5
0。27777Λ　Λ　=　0。27　=　　　　　　=　　　　=
90　　　　90　18

0。31252525Λ　Λ　0。3125=　　3125　31　1547
=
9900　4950
数学的变化虽是无穷的，在研究了大量的现象或大量的例题后，应学会
从特殊的问题中，善于总结出一般规律的思考方法。

神奇的“缺　8　数”

“缺　8　数”——12345679，颇为神秘，故许多人在进行探索。
清一色　　菲律宾前总统马科斯偏爱的数字不是　8，却是　7。于是有人对
他说：“总统先生，你不是挺喜欢　7　吗？拿出你的计算器，我可以送你清一
色的　7。”接着，这人就用“缺　8　数”乘以　63，顿时，777777777　映入了马
科斯先生的眼帘。
“缺　8　数”实际上并非对　7　情有独钟，它是“一碗水端平”，对所有的
数都“一视同仁”的：你只要分别用　9　的倍数（9，18……直到　81）去乘它，
则　111111111，222222222……直到　999999999　都会相继出现。
三位一体　　“缺　8　数”引起研究者的浓厚兴趣，于是人们继续拿　3　的倍
数与它相乘，发现乘积竟“三位一体”地重复出现。例如：
12345679×12＝148148148
12345679×15＝185185185
12345679×57＝703703703
轮流“休息”　　当乘数不是　3　的