科普-中华学生百科全书-第475部分

按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页，按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页，按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部！
————未阅读完？加入书签已便下次继续阅读！


则△ABC　一定是直角三角形。不信，你可以试试。”
证明：先设△ABC　为任意三角形，有　A＋B＋C＝180°
A　＋　B　　　　　　　　　B
2sin　　　　　　cos　A
∴右式　=　　　　　　　　2　　　　　　　　　　2
2cosA　　＋　B　cos　A　　　　B
2　　　　　　　　　　2
sin180°　　C　　　　　cosC
=　　　　　　　　　2　　　　　=　　　　　2
cos180°　　　C　　　　　　　C
sin
2　　　　　　　　　　2
左式　=　2sinC　cosC
2　2

∴2sinC　cosC　=　　　　　　cosC
2
2　　　　　　2　　　　　　　　　C
sin
2
∵cosC　≠0
2
C
∴2sin2　=　1
2
C　　　　　　2
sin　=
2　　　　　2

∵　=　45°
C　　　　　　　　　　　　　　　　即　C　=　90°
2
所以△ABC　为直角三角形。

巷中行

有一个小巷，本来就不宽，充其量只有　5　米，却遇上修理房屋。巷内架
起了两个梯子，一个梯子长　8　米，另一个梯子长　7　米。架起来后，行人走到
那里就皱起了眉头。请你计算一下，这样架着梯子，人在巷中行走，有妨碍
没有？
解答：设巷宽　DB＝5　米，两个梯子　AB＝8　米，CD＝7　米
令　EF＝x，FB＝x
EF　　　　DF
∵　　BC　DB；
=

BC　=　CD2　　DB2　；

DF　=　DB　y
x　　　　　　5　y
∵　　　　　　　　　　=　　　　　　∴
72　　52　　　　　　5

同理：
EF　　　　　FB
=
AD　DB
AD　=　AB2　　DB2
x　　　　　　　　　　　　　　y
∴　　　　　　　　　　　　　　　　　=
82　　52　　　　　　　　　　　　　5

由①、②式，求得：
5　y　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　y
72　　52　=　　　　　　　　　　　　　　　　82　　52
5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5
10　6　　2　6y　=　39y

10　6
y　=　　　　　　　　　　　　　　=　　　　24。5=2（米　　　　　）
2　6　＋　39　12。2
又
x　　　　　　　　　　　　　　y
=
82　52　　　　　　　　　　　　5

39
x　=　　　　　　　　　　　　y
5

x=　　6。25×　　　2=2。5（米）
5
由此可见，两梯子交叉点离地面约有　2．5　米高，因此并不影响行人通过。

截去多少

有三角形、平行四边形和　1／4　的圆形（或称　90°的扇形），它们高度相
等。现在在高度一半处，与底边平行地截过去，截下一个小的三角形、平行
四边形和半个弓形，问截下部分是整体面积的几分之一？

解答：三角形截下部分是整体的　1／4，因为小三角形的边和高都是原来
的　1／2，其面积是原来的（1／2）2。
平行四边形截下的部分为整体的一半，即　1／2。
半弓形的面计算如下：

扇形ABC的面积　=　πR2
1
6

1　R　　　　　　　　　　3　　　　　　　3
三角形DBC的面积　=　×　×　　　　　　　　　　R　=　　　　R2
2　2　　　　　　　　　2　　　　　　8
半弓形　ADC　的面积＝扇形　ABC　的面积…三角形　BDC　的面积：
πR2　　　　　　3　　R2
6　　　　8

扇形ABE的面积　=　πR2
1
4
πR2　　　　　3
半弓形的面积　　　　　　　　　　　　　　　　R2
=　　　　　6　　　　　8　　　　　　2　　　　　　　3
3　2π　　　=0。382
90°扇形的面积　　　　　　　　πR2
4

园丁的难题

公园里有一个圆形的花圃，在它外面有一个水泵。为了浇花的需要，又
兼顾花圃外用水的方便，园丁想拉一条直的水管，使它在圆内部分的长度等
于圆外部分的长度。可是，这根水管应该怎样拉呢？
假设　AC　是符合愿望的水管，那么
CB＝BA
连接　OB、OC，并将　CO　延长与圆周交　D，连接　AD。
∵CB＝BA，OC＝OD＝r
∴OB∥DA
△COB∽△CDA
OB　　　　=　　CO　　　=　r
DA　CD　2r
DA＝2OB＝2r

因此，只需以　A　点为圆心，2r　为半径画弧交花圃圆周于　D。连接DO　并交
圆周于　C，连接　AC　即为设水管的位置。
值得注意的是：一般情况可以有两个解，分设在左右两侧。但也有唯一
解的情况，那是　A　点与圆心连线以后，该连线的长度正好等于　3r。当　A　点与
圆心连线大于　3r　时，本题无解。

正方形的维纳斯

据说，著名的维纳斯雕像之所以美，是因为她的上半身和下半身的长度
是按黄金比分配的。为此，我们取一个正方形　ABCD，现在作一个半圆，使它
的直径正好在正方形一边　CD　的延长线上，圆周正好通过正方形另两个顶点　A
和　B，此时直径为　MN。那么　C　点把　DN　黄金分割，D　点把　MC　黄金分割。
因为　MN　为半圆的直径，所以
BC2＝MC·CN　　　　　①
∵ABCD　为正方形

∴BC＝DC
DC2＝MC·CN　　　　　②
由于图形的对称性，所以
MD＝CN
MC＝DC＋MD＝DC＋CN　　　　　　　　　　　　　　　　　③
由②式和③式，得
DC2＝（DC＋CN）·CN
∴CN　=　　　　DC
DC　DN
因此　C　为　DN　的黄金分割点，同样可以证明　D　为　MC　的黄金分割点。

丰收时节

在喜庆丰收的时候，用编好的苇席围起来做成粮囤。甲、乙、丙三人用
同样长的苇席，甲围成一个正三角形，乙围成一个等腰直角三角形，丙围成
一个圆形。那么，他们谁围的面积大？如果苇席同样高的话，谁围的粮囤存
放的粮食多？
假设苇席的长度为　1　米，正三角形边长为　a，等腰直角三边为　b，圆半径
为　r。
（1）正三角形中：
3a＝1

∴a　=　　　1
3
a　　　　　　3
S　=　　　　　　　　　a　=　　　　3a2
2　2　　　　　　　　　　　4
4　3
31　　　　2
=　　　　　　　　　　　　=　　　　3　　=0。0481
36
（2）等腰直角三角形中：
2b＋　2b　=　1

∴b　=　　　　　1
2　＋　2

S　=　　b2　　　=　　　　　　12　　　　　　　=　　　3　2　2　=0。0421
b　　　　　2（2　＋　2）2　　　　　　　　　4
（3）在圆中：
2πr＝1
1
∴r　=　　2π
S　=　πr2　=　πr2　=　π2　　=
1　　　　2　　　1

π　　　　　4π　=0。07912

所以，在周长相等的情况下，圆的面积最大，正三角形　其次，等腰直角
三角形最小。自然，搭起的粮囤大小也是这样的次序了。

折纸的面积

一张等腰直角三角形的白纸，用　3　种折法：（1）A　点折到　B　点处，形成
一个三角形　DCB；（2）A　点折到　C　点处，形成一个梯形　EDBC；（3）A　点折到
BC　边的中点　F　点处，形成一个不规则四边形　GDBC，这　3　个图形，面积的变化
情况是怎样的呢？

（1）设等腰直角三角形ABC直角边长为a，△ABC面积为　a2，则　　　1
2
1　1
△DBC的面积　=　△ABC的面积　=　a2
2　4
（2）∵△AED的面积　=　AE·ED　=　2a
1　　　　　　　　　　　　　　　　1　　　1　　　2

2　　　　　　　　　　　　　　　　2

=　a2
1
8
∴梯形EDBC的面积　=　△ABC的面积　…△AED的面积

=　a2　　a3　=　a3
1　　　　　　　　1　　　　　　3
2　　　　　　　　8　　　　　　8
（3）∵GA＝GF　　　　　　GA＝AC…GC
设　GC＝x　　　　　　　GA＝GF＝a…x
GF2＝GC2＋CF2

（a　　x）2　=　x2　＋　2a　　1　　　2

a2　＋　x2　　2ax　=　x2　＋　a2　　1
4
1
2ax　=　a2　　a2
4

2x　=　a　3
4
3
x　=　a
8

∴AG　=　a　　a　=　a
3　　　　5
8　　　　8
在△DFB　中，设　DF＝z，则　AD＝z

DB　=　2a　z　BF　=　　　　　　　　　　a
2
∵DF2＝DB2＋BF2…2DB·BF·cos45°

∴z2　=　（　2a　z）2　＋2a　2（　2a　　z）
1　a　2　　　　　　　　　　　　　　　　2
2　2

z2　=　2a2　＋z2　2　2az＋　a2　a2　＋
1　　　　　　　　　2
za
4　　　　　　　　2
5a2　323
=　　　　　　az
4

z　=　5　2
a
12
1
△AGD的面积　=　·AD·AG·cos45°
2

=　5　2　5　2
a　=　192a2
25
32　12

∴四边形GDBC的面积　=　△ABC的面积…△AGD的面积

=　a2　=
1　　　　　25　　　　　　　71
=
2　　　　　192a2　192a2
如果令原△ABC面积为S0，则
1
（1）△DBC的面积　=　S0
2
3
（2）梯形EDBC的面积　=　S0
4
71
（3）四边形GDBC的面积　=　192S0

擀面杖的学问

你有没有细心地注意过：擀面杖为什么做成中间较粗，两头较细？你又
是否发现：擀面条的时候，为什么要两头用劲擀，而不是在中间用劲擀？
看来这是生活中的小事，但里面却有着数学的道理呢！
大家知道：擀面从数学上来讲，就是要展开成一个平面。要展开得平平
的，就一定要防止形成曲面。你看，有的人不会擀面，擀出来的面不均匀，
十分难看。
如果擀面杖是一样粗，那么由于两只手不可能在擀面杖上各个部位用的
劲儿完全一样，这就容易发生翘面现象，而且等粗的擀面杖在向前推滚的时
候，使两层面片之间接触非常紧密，以至没有相互移动的余地，容易粘住。
当擀面杖两头稍细时，假如光是中间用劲，同样也适得其反，因为中间
用劲，中间部位的平面展得大，两端展得小，面片就会像荷叶一样，从两边
向中间卷起来，这就成了一个非展开面。
只有在两头用劲擀时，使两头细的部位展开的面大一些，而中间部位由
于擀面杖本来就粗，它可以顺从两头的力量，把面片擀得与两头同样程度，
这样擀出的面片，又平整，厚度又均匀。

陈省身数学奖

陈省数学奖为我国数学界最高奖，授予做出突出数学成就的我国数学工
作者，以中青年为主。从　1985　年开始，每年颁发一次。奖金额为人民币　1
万元，由香港亿利达工业发展集团有限公司提供。陈省身数学奖评选委员会
主任是吴文俊，委员有王元、谷超豪、程民德、胡国定、冯康、段学复。

数学奥林匹克竞赛

最早举办中学生数学竞赛的是匈牙利。1894　年匈牙利“物理—数学协
会”通过了在全国举办中学数学竞赛的决议。从此以后，除了在两次世界大
战中和匈牙利事件期间中断过　7　年外，每年　10　月都要举行。匈牙利通过数学
竞赛造就了一批数学大师，像费叶尔、哈尔、黎兹等，使得匈牙利成为一个
数学上享有声誉的国家，同时也引起欧洲其他国家的兴趣，纷纷仿效。1902
年，罗马尼亚由《数学杂志》组织了竞赛。1934　年前苏联在列宁格勒大学主
办了中学数学奥林匹克竞赛，首次把数学竞赛与奥林匹克体育运动联系起
来，以后逐年举行。数学竞赛的大兴起是本世纪　50　年代，据不完全统计，那
时举办全国性数学竞赛的已有近　20　个国家。我国在　1956　年由老一辈数学家
华罗庚等人倡导，举办了首次中学生数学竞赛。各国数学竞赛的兴起为国际
中学生数学奥林匹克的诞生准备了条件。
1956　年，在罗马尼亚罗曼教授的积极倡导下，东欧国家正式确定了开展
国际数学竞赛的计划。1959　年起有了“国际数学奥林匹克”，简称　IMO。第
一届　IMO　于　1959　年　7　月在罗马尼亚古都布拉索拉开帷幕。但前五届的参赛国
仅限于东欧几个国家，60　年代末才逐步扩大，发展成真正全球性的中学生数
学竞赛。为了更好地协调组织每年的　IMO，1981　年　4　月成立了国际数学教育
委员会的　IMO　分委员会，负责组织每年的活动。自此，IMO　的传统一直没有
中断，并逐步规范化。
我国自　1985　年参加国际数学奥林匹克竞赛至今，9　年中参赛　50　人次，
得奖　40　人次，其中获金牌　32　个，银牌　12　个，铜牌　4　个，取得了举世公认的
成绩。
在中学生数学竞赛的影响下，小学数学竞赛也逐步兴起。1986　年　10　月，
“华罗庚金杯”数学邀请赛诞生；1991　年　4　月，“小学生数学奥林匹克”赛
正式开始。
“华杯”赛于　1986、1988、1991、1993　年已举办过四届，竞赛要经过初
赛、复赛、决赛和口试四个阶段。初赛试题通过电视播放，每届都有　200　多
万少年参加。在各省组织初赛、复赛的基础上，选出　3　人（初中　1　人、小学
2　人）参加决赛，这四届分别在北京、深圳、长春和成都市举行。
“小学生数学奥林匹克”赛自　1991　年开始，至　1994　年已举办了四届，
赛程分初赛和决赛。初赛分　A、B、C（C　卷后来又叫民族卷）三种不同程度的
试卷，由各地根据考生的水平自由选定一种，于每年　3　月下旬第一个星期天
举行。决赛统一试卷，并于每年　4　月中旬第二个星期天举行。1993　年暑假在
山西太原举办了第一次全国小学数学奥林匹克总决赛。

菲尔兹奖——数学界最高奖

19　世纪末，随着数学研究工作的深入，数学上的国际交流越来越广泛，
人们迫切需要举行世界性的数学家集会。1879　年第一届国际数学家会议在瑞
士的苏黎士举行，3　年后在巴黎召开了第二届。自　1900　年开始，国际数学家
会议（简称　ICM）每　4　年召开一次，除了在两次世界大战期间中断以外，至
今已举行了　19　次。在　1950　年的会议上，成立了国际数学家的正式组织“国
际数学家联盟”，简称　IMU。IMU　的主要任务是：①促进数学界的国际交流；
②组织召开　ICM　以及各分支、各级别的国际性专门会议；③评审及颁发菲尔
兹（Feilds）奖。
每届　ICM　大会的第一项议程就是宣布菲尔兹奖获奖者的名单，然后授予
获奖者一枚金质奖章和　1500　美元的奖金，最后