学习像呼吸一样自然-第8部分

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的头脑中建立起关联。


第二章　在家里学数学和乘法表交朋友

　　　　尽管很多快乐而成功的成年人并不会背诵乘法表，但能把它背下来对以后还是很方便实用的。只要我们的学习方法正确，背下乘法表其实很容易，孩子们也会很乐于发现乘法表中的规律。　　　　
　　　　重要的是去“认识”它们，而非“学习”。最好的办法不是坐在那里死记硬背（一次背上一条，如同学习什么古怪的外语），而是要去熟悉它们，观察它们是如何运作的，并使用它们。过上一阵子我们就会发现，即使没有专门去学习，我们已经掌握了乘法表。甚至都不知道是经过了什么样的过程，我们已经和乘法表成为了朋友。　　　　
　　　　下面是一种和乘法表交朋友的办法，它可以使得学习的过程更容易、更有趣，而且记忆得更深刻。当你记得不是那么清楚的时候，它可以提供后援，而且，它能教给你数字是如何运作的，并向你展示这个规律中所蕴含的美与和谐。　　　　
　　　　我们从一个10×10的格子开始。格子图中，每排有10个正方形，每列也有10个正方形，每一个正方形有所对应的排和列的数字。把排和列的数字的乘积填到格子里。　　　　
　　　　图表中显示了几个填好的乘积。看第2排第3列，这个正方形里我们将填2×3的乘积，也就是6。在第4排第5列，我们填4×5的乘积，即20。如此进行。如果你对表格觉得不熟悉，我建议你自己把整个表格填满，花多少时间都不要紧。愿意的话可以用计算器。　　　　
　　　　让孩子们开始使用表格的方法是，给他们一个空白的表格让他们从头慢慢填起。给孩子们足够的时间，如果有必要，哪怕是几个星期甚至是几个月都没关系。把这个图表贴在醒目、顺手的地方，比如冰箱的门上，让孩子们把新算出来的乘积填进适当的格子里。不要催他们，这样我们预料之中的事情便可能发生：孩子们会先从第1列第2列或是第1排第2排的格子开始填……然后就是第5排和第5列……然后是第10排和第10列。他们觉得算出这些数字的乘积“很容易”。太好了！当他们开始觉得算出某个乘积很容易时，说明他们已经开始认识它了，而且可能永远都不会忘。　　　　
　　　　假如在填这些方格的时候孩子们填错了，不要纠正他们，随他们去。当孩子们对表格和其规律逐渐熟悉了，他们自己会发现有的数字看上去不对，放在那里不合适，和其他的数字有冲突，这个过程就像孩子们在自学阅读的过程中把字读错时会感觉有点不对劲一样。他们能够感觉到数字在有序而合理地运作，这比学习表格本身重要得多。能这样做的孩子，当他们出错的时候会说：“等等，这没有道理。”然后会找出并纠正那个错误。　　　　
　　　　到了一定时候，孩子会把表格里的空全部填满。如果表格贴在冰箱门上或是别的显眼的地方，把最后一个格子填满的那一瞬间是非常令人兴奋的，可以来个小小的庆祝。　　　　
　　　　当然，如果计算器在手边，孩子又知道怎么用的话，表格会填得快得多。没关系，即使使用计算器，孩子们也会通过填表格这件事本身开始留意到一些规律。这个游戏可以演变成：要是不用计算器我可以填出多少格子？不要问孩子：“你能记得多少？”孩子们大多不“记忆”，也就是说，他们未曾有意识地记忆。如果我们让他们担心自己能记住什么、记不住什么，对孩子来说，我们实际上是在把这些知识变得离他们越发的遥不可及。　　　　
　　　　我并不是要把这些建议变成规定，我只是建议当第一张表格被填满的时候，对也好，错也好，你把这张表取下来，换上一张新的。这次孩子会填得快得多。许多乘积变得比第一次做的时候容易了。如果第一次做错了，其中的一些错误会被孩子留意并纠正过来。即使错误再次出现了，也不用担心，孩子或早或晚会发现并纠正过来的。　　　　
　　　　这里介绍一些填格子游戏的变种。（1）当孩子们能够在5分钟之内填出全部格子时，让他们用表计时，确定出自己所用的时间。下一次，看能否做得再快一点——孩子们都喜欢打破自己的“记录”。（2）在给定时间之内，比如1～2分钟，孩子可以填出多少个乘积。孩子会躲开较难的乘积，用对他们来说已经很容易计算的乘积竞赛，并把大部分时间花在思索那些曾经困难现在开始变容易的乘积上。这次孩子会用几秒钟去算5×6=30。过几天他就会了，这个乘积也变成容易的了。之后他便会转向下一个半难的乘积，再把它变得容易，直到有一天所有的都变容易了。（3）把表格从后向前填，也就是说，从右下角开始向上和向左逐列逐排填。这么做的时候，孩子们会发现以前没有注意到的新的规律，比如做数字9这一列的时候，每往上挪一个格，得数的个位数就增加1，等等。（4）做一个排和列的数字随机排列的表格，看填完需要多少时间。（这会比较难。）　　　　
　　　　即使是上面提到的练习和方法，或许也并不是必须的。让孩子们认识乘法表的最好办法是让他们发现数字间的关系，以及所产生的规律。这样，会乘以2、乘以3的孩子便会算出表上的几乎所有乘积。为什么要浪费时间去记忆你知道自己可以很快算出来的东西呢？不管怎么样，孩子们自己反复算了好几次算出来的某个乘积，下一次再遇到的时候便有可能会想起来。　　　　
　　　　不过，就像我提到过的，许多人发现乘法表学起来其实很简便。几年前我在教数学的时候曾经尝试过不同的方法，想把学这个乘法表的过程变得引人入胜一些。当学习变成让人兴奋和激动的事情时，孩子们能学得更好。以下是我当时写下的笔记。　　　　
　　　　算术练习的缺点在于它们要么让孩子觉得闷，要么让孩子觉得害怕。结果是孩子们要么什么也学不进去，要么学过后也很快就忘了。　　　　
　　　　我曾经教过几个三年级的学生，他们对于数字一向表现得很聪颖，但就是掌握不好乘法表，这让校方急得不行。有一天我突然想到，在记电话号码时我们更多地是通过听觉而不是视觉记忆的，因此传统的口头重复念诵的办法或许能对孩子记忆乘法表有用，只要我把它们念得更琅琅上口一些。而且这个小点子可能会让孩子们顾不上焦虑，而把全部注意力集中在记忆上。　　　　
　　　　过了一阵子，我又找到了一个行之有效的办法。我在黑板上写从6～9的这几个数字的所有乘积，如下所示：　　　　
　　　　6　7　8　9　　　　
　　　　636424854　　　　
　　　　742495663　　　　
　　　　848566472　　　　
　　　　954637281　　　　
　　　　孩子们用这个表格练习了一气，弄明白6这一排和7这一列相交的地方应该填上6和7的乘积。我之所以用从6～9的乘积是因为这部分的乘法表是孩子们认为“最难”因而老也记不住的部分。　　　　
　　　　我已经把乘积填入了，像上表显示的那样。我两只手各执了一只教鞭。我向孩子们解释说，如果我用一只教鞭指着左栏中的7，另一只指着右上方的9，他们就要说“七九六十三”，其他的也如此进行下去。我们开始了。当我挪动教鞭的时候，通过他们回答时语调的迟缓可以感觉到他们在表上搜索着乘积。但逐渐地他们变得自信起来，开始回答得越来越快，也不用费劲地找乘积了，也许他们已经知道上哪儿找了。　　　　
　　　　这时我突然有了一个主意，我把上述游戏做了个小改动以使其更好玩。我把一个乘积擦去。所有的孩子都欢呼起来。我马上问他们这个乘积是什么，之后就频繁地回来复习，这样它便牢牢地印在了孩子们的脑海里。孩子们发现他们居然不看着这个乘积也能回答出，真是惊喜交加。他们到底是怎么记住的，是通过记忆自己念乘积时的声音，还是通过它们在黑板上的样子，我不得而知，也不想问。或许不问最好。如果他们不得不去思索是“怎么”记住的，这可能会让他们的记忆从潜意识中被剥离，记忆活动便随之停止了。　　　　
　　　　慢慢地，我擦掉了越来越多的乘积，先是数字6那一排，然后是其他的。随着空白越来越多，孩子们变得越来越兴奋，因为他们惊奇地发现，他们真的可以不看着答案也能回答得出，他们的确已经记住了。　　　　
　　　　有时候，没有一个孩子能记得起来某个空格里的乘积。这时我什么也不说，只是把乘积填回去。孩子们更兴奋了，大叫着“我就知道是它”。直到表格里只剩下2～3个乘积时，孩子们开始把这个练习变成一个比赛，看谁能在卡壳之前把所有的乘积都擦掉。有时我问到一个谁也不知道的乘积，拿粉笔假装要往黑板上写，但是我的手还没碰到黑板，孩子们中就有人喊出了正确答案，于是所有孩子都赶紧冲我喊着说：“你不能写，你不能写！”　我表示同意，因为这的确公平合理。很快地，所有的格子都空了，孩子们终于赢得了这场胜利。　　　　
　　　　我当时的笔记到此为止，我猜想那大概是因为乘法表已经不再是让大家头疼的问题了。如果有谁觉得这个乘法表游戏效果不错，可以再增加其数字项，比如11和12，甚至更多。


第二章　在家里学数学大数字相乘

　　　　我们做多位数乘法时，比如24×57，或是132×853，可以把大数字分解成简单的小数字。比如8可以分解为3和5，2×8就等于2×3加上2×5。可以写成这样的等式：　　　　
　　　　2×8=（2×3）＋（2×5）　　　　
　　　　不过不少人会搞不懂为什么是这样。或许他们还会看到下列这个算式：　　　　
　　　　3×14=（3×10）＋（3×4）　　　　
　　　　=30＋12　　　　
　　　　=42　　　　
　　　　但他们还是无法相信这个算法适用于所有数字。　　　　
　　　　一些算术课本在回答“为什么上述等式成立”这个问题时，会解释说“乘法可以分配成加法来计算”。对大多数人来说，这个说法并没有让他们明白多少。本来这也不是什么解释，只是把事实换了种方法说出来而已。　　　　
　　　　让我们换种方式想，上面的算式只是自然事实的一种体现，并不需要什么解释，这样或许倒容易理解一些。“为什么会这样？”这种问法还不如直接问为什么7可以分解为3和4。之所以这样是因为本来就是这样。这个事实后面并没有隐藏着什么更深奥的道理。　　　　
　　　　好了，现在回到刚刚说过的乘法算式，我们看到了一个已经成立的，也必将永远成立的事实。可以这样想，如果我们按照食谱构成把一份菜肴分量加倍，就意味着要把食谱中要求的任一成分的分量加倍。如果食谱要求两个鸡蛋，我们把它加倍，就变成四个鸡蛋。如果食谱上是一杯面粉，我们想加倍，就要把它变成两杯面粉。即使是害怕数字和算术的人也能明白并确信这个道理。　　　　
　　　　那么我们也能明白，如果7可以变成3和4，那么两个7就变成两组3和4：　　　　
　　　　＊＊＊＊＊＊＊　　　　
　　　　＊＊＊＊＊＊＊　　　　
　　　　如果是三个7，就变成三组3和4：　　　　
　　　　＊＊＊＊＊＊＊　　　　
　　　　＊＊＊＊＊＊＊　　　　
　　　　＊＊＊＊＊＊＊　　　　
　　　　以此类推。　　　　
　　　　乘法在此处用起来就很方便，否则，如果我们想用67乘以8，就不得不写下8遍67，再把它们相加。但是用乘法，我们就可以将67分解为60和7，然后用60×8加上7×8，即480＋56，就得出536。我们可以写成下面这个算式：　　　　
　　　　67×8=（60×8）＋（7×8）　　　　
　　　　=480＋56　　　　
　　　　　=536　　　　
　　　　这里提到的只是运算技巧的一两个简单的步骤，或者只是数学家所说的多位数乘法的“运算规则”。随便什么算术课本上都有，我就不在此展开讲了。　　　　
　　　　不过我不会急于让孩子们学会这种学校所推崇的简便算法，他们本来已经理解了多位数相乘的原始计算步骤。而且，这种简便算法也没有真的简便多少，充其量是少写几个零而已。如果过早地教孩子们这种简便算法，会把他们搞糊涂，这是得不偿失的。　　　　
　　　　所以，如果我们需要计算562×74，我们当然可以把74分解为70和4，然后分别计算562×70和562×4，再把结果相加。如果孩子们自己对简便算法感兴趣，那很好，但这并不意味着我们必须要像学校那样，花上几个星期甚至几个月去反复训练他们，就为了熟练掌握这种少不了几步的、生活中很少会用到的简便算法。


第二章　在家里学数学分数

　　　　当我教五年级的时候，在开始“教”孩子分数概念，甚至是在提到这个词之前，我会问他们这样的问题：“如果你有3块糖，想均匀地分给5个人，你怎么分呢？”　他们大多会想出一种或两种办法。但是当他们“学会”了分数的概念